积分类

根据定义(黎曼和)

特别的 我们用到的是他的特例

特殊在于

• 将随机大小的 $\triangle x_i$ 转化为固定的 $\frac{1}{n}$
• 将随机的 $\xi_{i}$ 转化为固定的 $\frac{i}{n}$

因此只要能把对应极限转化成👈和式就能用积分公式求解 步骤

1. 提 $\frac{1}{n}$
2. 在 $f(x)$ 中凑出$\frac{i}{n}$
3. 用$x$替换$\frac{i}{n}$
4. 写出积分形式并求解

夹逼定理

当和式中的项无法转化成$f\left( \frac{i}{n} \right)$时，例如$\sqrt{ n^2+2 }$而不是标准线性关系，一般使用夹逼定理解决

1. 放大与缩小：

   • 缩小：将分母全部换成最大的分母（通常是最后一项）。

   • 放大：将分母全部换成最小的分母（通常是第一项）。

2. 求两端极限：

   如果放大和缩小后的极限值相等（通常利用简单的幂函数极限求解），则原式极限即为此值。

进阶技巧与注意事项

1. 积分限的变化 如果求和项是从 $i=1$ 到 $i=2n$，或者 $i=1$ 到 $i=kn$，积分上限会变为 $2$ 或 $k$。

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{2n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^2 f(x) dx$$

2. 识别“隐蔽”的 $\frac{1}{n}$

   有时候 $\frac{1}{n}$ 并不直接存在，需要通过分子分母同除以 $n^k$ 来构造。

   • 例如：$\sum \frac{n}{n^2+i^2}$，上下同除 $n^2$ $\to$ $\frac{1}{n} \sum \frac{1}{1+(i/n)^2}$。

3. 结合泰勒展开

   有些题目看似是积分类和式，但其中包含 $\sin(\frac{1}{n})$ 等项，可能需要先用等价无穷小或泰勒展开简化，再进行积分求和。